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  • Evènements indépendants

    Formulaire de report

    Définition

    Évènements indépendants : évènements tq $$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$

    (Intersection)

    \(n\) événements sont indépendants si la probabilité de l'intersection est égale au produit des probabilités pour toute sous-famille de \(2\) à \(n\) d'entre eux

    Suite d'événements indépendants

    \((A_i)_{i\in{\Bbb N}^*}\) est appelé "suite d'événements indépendants" si \(A_{i_1},\ldots A_{i_n}\) sont indépendants pour chaque choix d'un nombre fini d'indices \(i_1,\ldots,i_n\) distincts

    Conséquences immédiates

    Si \({\Bbb P}(A)\neq0\), \(A\) et \(B\) sont indépendants si $${\Bbb P}_A(B)={\Bbb P}(B)$$

    (Evènement négligeable, Probabilité conditionnelle)

    \(A_1,\ldots,A_n\) sont mutuellement indépendants pour la probabilité \({\Bbb P}\) si et seulement si pour tout ensemble d'indice \(I\subset{\Bbb N}\), $${\Bbb P}\left(\bigcup_{i\in A}A_i\right)=\prod_{i\in I}{\Bbb P}(A_i)$$

    (Union - Réunion, Ensemble d'indices, Probabilité)

    Propriétés

    Règle du produit

    Univers

    La succession de \(n\) épreuves aléatoires indépendantes ayant comme univers respectifs \(\Omega_1,\Omega_2,\ldots,\Omega_n\) constitue une épreuve dont l'univers est le produit cartésien : $$\Omega=\Omega_1\times\Omega_2\times\cdots\times\Omega_n$$

    (Univers, Produit cartésien)

    Complémentaires

    Si \(A\) et \(B\) sont indépendants, alors \(A\) et \(\bar B\), \(\bar A\) et \(B\) et \(\bar A\) et \(\bar B\) sont indépendants

    (Complémentaire)

    Consigne: Montrer que si \(A\) et \(B\) sont indépendants, alors \(A\) et \(B^C\) sont indépendants

    $$\begin{align} P(A\cap B^C)&=P(A)-P(A\cap B)\\ &=P(A)-P(A)P(B)&&\text{car indépendance}\\ &=P(A)(1-P(B))\\ &=P(A)P(B^C)\end{align}$$

    Proposition :
    La propriété d'indépendance se conserve si dans une famille d'événements, certains sont remplacés par leur complémentaire

    Lien avec la probabilité

    L'indépendance de deux événements est relative à la probabilité choisie

    (Probabilité)

    Evénements disjoints

    Deux événements disjoints de probabilités non nulles ne peuvent pas être indépendants

    Consigne: Montrer que deux événements disjoints de probabilités non nulles ne peuvent pas être indépendants

    $$P(A\cap B)=P(\varnothing)=0\ne P(A)P(B)$$

    (Ensembles disjoints)

    Exercices

    Consigne: On s'intéresse à la répartition des sexes des enfants d'une famille de \(n\) enfants
    On prend comme modélisation $$\Omega_n=\{f,g\}^n=\{(x_1,\ldots,x_n)\mid x_i\in\{f,g\},i\in[\![1,n]\!]\}$$muni de l'équiprobabilité
    On considère les événements : $$A=\{\text{la famille a des enfants des deux sexes}\}\quad\text{ et }\quad B=\{\text{la famille a au plus une fille}\}$$
    1. Montrer que pour \(n\geqslant2\), $$P(A)=\frac{2^n-2}{2^n}\quad\text{ et }\quad P(B)=\frac{n+1}{2^n}$$
    2. En déduire que \(A\) et \(B\) ne sont indépendants que si \(n=3\)

    Équiprobabilité
    \(\operatorname{Card}\Omega_n=2^n\)
    On a équiprobabilité, donc : $$P(A)=\frac{\operatorname{Card} A}{\operatorname{Card}\Omega}\quad\text{ et }\quad P(B)=\frac{\operatorname{Card} B}{\operatorname{Card}\Omega}$$

    Dénombrement et calcul des probabilités
    - \(A=\Omega\setminus\{(g,g,\ldots,g),(f,f,\ldots,f)\}\), donc \(\operatorname{Card} A=2^n-2\)
    - \(B=F_0\cup F_1=\{0\text{ fille}\}\cup\{1\text{ fille}\}\), donc \(\operatorname{Card} A=\binom0n+\binom1n+1+n\)
    On a donc bien $$P(A)=\frac{2^n-2}{2^n}\quad\text{ et }\quad P(B)=\frac{n+1}{2^n}$$

    Partir de l'indépendance pour isoler \(n\) \(\to\) vérifier que c'est bon pour \(n=3\)
    De la même manière, on a \(P(A\cap B)=\frac n{2^n}\)
    $$\begin{align} A\text{ et }B\text{ indépendants}&\iff\frac{n}{\cancel{2^n}}=\frac{2^n-2}{2^n}\frac{1+n}{\cancel{2^n}}\\ &\iff2^nn=(2^n-2)(1+n)=2^n-2+n2^n-2n\\ &\iff2^n-2-2n=0\\ &\iff2^{n-1}-1-n=0\\ &\iff 2^{n-1}=n+1\end{align}$$
    - C'est vrai pour \(n=3\)
    - Pour \(n=2\), c'est faux

    Unicité par récurrence

    Montrer que \(\forall n\geqslant4,2^{n-1}\gt n+1\) par récurrence

    Consigne: On effectue des lancers répétés d'une paire de dés et on observe pour chaque lancer la somme des points indiqués par les deux dés
    Quelle est la probabilité d'obtenir ni \(7\) ni \(9\) au cours d'un lancer ?

    $$\begin{array}{c|cccccc}&1&2&3&4&5&6\\ \hline1&2&3&4&5&6&7\\ 2&3&4&5&6&7&8\\ 3&4&5&6&7&8&9\\ 4&5&6&7&8&9&10\\ 5&6&7&8&9&10&11\\ 6&7&8&9&10&11&12\end{array}$$
    Sur \(\Omega=\{1,\ldots,6\}^2\), $$P(\{\text{ni }7\text{ ni }9\})=\frac{36-10}{36}=\frac{13}{18}$$

    Consigne: On effectue des lancers répétés d'une paire de dés et on observe pour chaque lancer la somme des points indiqués par les deux dés
    La probabilité d'obtenir ni \(7\) ni \(9\) au premier lancer est \(P(H_1)=\frac{13}{18}\)
    On note \(F_i=\{\text{obtention d}^\prime\text{un }9\text{ au }i\text{-ème lancer}\}\) et pour \(n\gt 1\), \(E_n=\{\text{ni }7\text{ ni }9\text{ ne sont obtenus au cours des }n-1\text{ premiers lancers et le }n\text{-ème lancer donne }9\}\)
    Dans le cas particulier \(n=1\), on pose \(E_1=F_1\)
    On se propose de calculer la probabilité de l'événement \(E=\{\text{la première obtention d}^\prime\text{un }9\text{ a lieu avant la première obtention d}^\prime\text{un 7}\}\)
    1. Exprimer \(E\) à l'aide d'opérations ensemblistes sur les \(E_n\). Exprimer de même chaque \(E_n\) à l'aide des \(F_i\) et des \(H_i\)
    2. Calculer \(P(E_n)\) en utilisant l'indépendance des lancers
    3. Calculer \(P(E)\)

    1°
    $$\begin{array}{c|cccccc}&1&2&3&4&5&6\\ \hline1&2&3&4&5&6&7\\ 2&3&4&5&6&7&8\\ 3&4&5&6&7&8&9\\ 4&5&6&7&8&9&10\\ 5&6&7&8&9&10&11\\ 6&7&8&9&10&11&12\end{array}$$
    \(E=\bigcup^{+\infty}_{n=1}E_n\) et les \(E_n\) sont incompatibles deux à deux
    $$E_n=F_n\cap\bigcap^{n-1}_{i=1}H_i$$

    2°
    $$\begin{align} P(E_n)&=P(F_n)\times\prod^{n-1}_{i=1}P(H_i)\\ &=\frac4{36}\left(\frac{26}{36}\right)^{n-1}\end{align}$$

    $$\begin{align} P(E)&=\sum^{+\infty}_{n=1}P(E_n)\\ &=\sum^{+\infty}_{n=1}\frac4{36}\left(\frac{26}{36}\right)^{n-1}\\ &=\frac25\end{align}$$

    Consigne:

    $$\begin{array}{c|cccccc}&1&2&3&4&5&6\\ \hline1&2&3&4&5&6&7\\ 2&3&4&5&6&7&8\\ 3&4&5&6&7&8&9\\ 4&5&6&7&8&9&10\\ 5&6&7&8&9&10&11\\ 6&7&8&9&10&11&12\end{array}$$
    $$\begin{align} P(E)&=P(E\mid F_1)P(F_1)+P(E\mid G_1)P(G_1)+P(E\mid H_1)P(H_1)\\ &=1\times\frac4{36}+0+\frac{26}{36}P(E)\\ \implies 10P(E)&=4\\ \implies P(E)&=\frac25\end{align}$$


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